Teoremas de la suma y diferencia de ángulos (Seno)

Teorema: \(\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\)

 Demostración: En primer lugar de la fórmula de Euler se obtienen las siguientes igualdades:

1. \(\sin(a)=\displaystyle\frac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i}\)


2. \(\cos(b)=\displaystyle\frac{e^{ib}+e^{-ib}}{2}\)

Multiplicando ambas ecuaciones obtenemos

\(\begin{matrix}\sin(a)\cos(b)= & \displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)\left(\displaystyle\frac{e^{i(a+b)}+e^{i(a-b)}-e^{-i(a-b)}-e^{-i(a+b)}}{2i}\right) \\ \ & \displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)\left(\sin(a+b)+\sin(a-b)\right)\end{matrix}\)

Ahora, de la misma fórmula de Euler obtenemos ecuaciones similares para \(\sin(b)\) y \(\cos(a)\)

3. \(\sin(b)=\displaystyle\frac{e^{ib}-e^{-ib}}{2i}\)


4. \(\cos(a)=\displaystyle\frac{e^{ia}+e^{-ia}}{2}\)

Multiplicamos de nuevo ambas ecuaciones y obtenemos

\(\begin{matrix}\sin(b)\cos(a)= & \displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)\left(\displaystyle\frac{e^{i(a+b)}+e^{-i(a-b)}-e^{i(a-b)}-e^{-i(a+b)}}{2i}\right) \\ \ & \displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)\left(\sin(a+b)-\sin(a-b)\right)\end{matrix}\)

Finalmente sumamos los dos resultados obtenidos

\(\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)\left(\sin(a+b)+\sin(a-b)\right)+\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)\left(\sin(a+b)-\sin(a-b)\right)= \sin(a+b)\)

Lo cual concluye la demostración. El caso  \(\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)\) es similar al anterior.