Matrices

Conceptos básicos

Definición (Matriz)

Una matriz es un arreglo numérico bidimensional en forma de filas y columnas en la cual cada elemento posee un único lugar en el arreglo. Por lo general suele denotarse cada elemento de una matriz \(A\) como \((a_{ij})\) en donde \(i\) representa la fila  y \(j\) la columna en la que está ubicado determinado número. 

Forma general:

\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\)

Tipos de matrices

Definición (Matriz fila)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice que es una matriz fila si existe una única fila \(i\) en la matriz. Es decir, \(i\) debe ser un número constante y \(j\) puede variar en los reales; en tal caso la matriz \(A\) es de tamaño \((1\times{}k)\) con \(k=\max{\{j\}}\).

Ejemplo:  \(A=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 8 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz columna)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice que es una matriz columna si existe una única columna \(j\) en la matriz. Es decir, \(j\) debe ser un número constante e \(i\) puede variar en los reales; en tal caso la matriz \(A\) es de tamaño \((k\times{}1)\) con \(k=\max{\{i\}}\).

Ejemplo:  \(A=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz rectangular)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice que es rectangular si \(i\neq{j}\). Es decir, toda matriz de tamaño \((m\times{}n)\) es rectangular si \(m\neq{n}\).

Ejemplo:  \(A=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 3 & 7 & 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz cuadrada)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice que es cudrada si tiene el mismo número de filas y columnas. Es decir, toda matriz de tamaño \((n\times{}n)\) es cuadrada.

Ejemplo:  \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 4 & 9 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz nula)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice que es nula si todos sus elementos son cero. Es decir, \(\forall{i},\forall{j}:(a_{ij})=0\).

Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz diagonal)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) es diagonal si \(\forall{i},\forall{j}:a_{ij}={0} ~\mbox{ si }~ i\neq{j}\). Es decir, todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero.

Ejemplo:  \(A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz trinagular superior)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) es triangular superior si \(\forall_{(i\gt{j})}:a_{ij}=0\). Es decir, todas las componentes por debajo de la diagonal son cero.

Ejemplo:  \(A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz triangular inferior)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice que es triangular inferior si \(\forall_{(i\lt{j})}:a_{ij}=0\). Es decir, todas las componentes por encima de la diagonal son cero.

Ejemplo:  \(A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz escalar)

Una matriz diagonal \(A=(a_{ij})\) se dice que es escalar si todos sus elementos distintos de cero son iguales. Es decir, \(\forall{i},\forall{j}:a_{ij}=a_{i+1~j+1} ~\mbox{ para }~ i=j\).

Ejemplo:  \(A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz identidad)

La matriz identidad \(I_n\) es una matriz escalar en la que sus componentes son  solo unos. El orden de la matriz viene dado por \(n\).

Ejemplo:  \(I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Definición (Matriz traspuesta)

Sea \(A=(a_{ij})\) una matriz de tamaño \(n\times{}m\), la matriz transpuesta de \(A\) se define como \(A^t=(a_{ji})\) de tamaño \(m\times{}n\).

Ejemplo:

Sea \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\), entonces \(A^t=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)


Definición (Matriz Invertible)

Una matriz \(A=(a_{ij})\) se dice invertible, no singular, o regular si existe una matriz \(B=(b_{ij})\) del mismo tamaño tal que \(AB=BA=I_n\). En ese caso \(B\) se denomina la inversa de \(A\), o viceversa, y es común denotarla como \(A^{-1}\).

Ejemplo: Sea \(A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\). \(A\) es invertible puesto que existe la matriz

\(A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{5}{7} & -\frac{3}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}\) tal que

\(AA^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{5}{7} & -\frac{3}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)


Definición (Matriz idempotente)

Sea \(A=(a_{ij})\) una matriz de orden \(m\times{n}\) tal que \(AA=A\). Entonces \(A\) se dice que es idempotente.

Ejemplo: Sea \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), entonces \(AA=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=A\)


Definición (Matriz involutiva)

Una matriz \(A=(a_{ij})_{m\times{n}}\) se dice que es involutiva si es tal que \(AA=I_n\). Si observamos el ejemplo anterior  (Matriz idempotente) notamos que la matriz de ejemplo es también involutiva.


Definición (Matriz simétrica)

 Una matriz \(A=(a_{ij})_{n\times{n}}\) se dice que es simétrica si verifica que \(A=A^{t}\).

Ejemplo: Sea \(A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}\), entonces \(A^{t}=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}\)


Definición (Matriz antisimétrica)

Una matriz \(A=(a_{ij})_{n\times{n}}\) se dice que es simétrica si verifica que \(A=-A^{t}\).

Ejemplo: Sea \(A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -4 \\ -1 & 0 & 2 \\ 4 & -2 & 0 \end{pmatrix}\), entonces \(-A^{t}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -4 \\ 1 & 0 & -2 \\ -4 & 2 & 0 \end{pmatrix}\)


Definición (Matriz ortogonal)

Una matriz \(A=(a_{ij})_{n\times{n}}\) es ortogonal si cumple que \(AA^{-1}=I_n\).

Ejemplo: Sea \(A=\begin{pmatrix} \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}\)

Entonces \(AA^{-1}=\begin{pmatrix} \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)