Determinantes

Introducción

Definición (Matriz menor)

Sea \(A\) una matriz de tamaño \(n\times{}m\). La menor \(M_{ij}\) se define como la matriz resultante al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\) de \(A\).

Ejemplo:

Sea \(A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 8 \\ 9 & 5 & 1 \end{pmatrix}\)

La menor \(M_{21}\) de \(A\) está dada por

\(M_{21}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}\)


Definición (Determinante de una matriz \(2\times{}2\))

Sea \(A\) una matriz de \(2\) filas y \(2\) columnas definida por \(A=(a_{ij})_{2\times{}2}\). El determinante de \(A\), denotado por \(|A|\), o también det\(A\), se define como

\(|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{22} \\ a_{12} & a_{21} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)


Definición (Determimnante de una matriz \(3\times{}3\))

La definición de determinante de una matriz \(3\times{}3\) se hace de forma inductiva teniendo como base la definición de determinante de una matriz \(2\times{}2\), de manera análoga la definición general para una matriz \(n\times{}n\) toma como base las definición de una matriz \((n-1)\times{}(n-1)\).

Sea \(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\)

Entonces \(|A|\) está dado por

\(|A|=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)


Definición (Cofactor)

Sea \(A\) una matriz cuadrada de \(n\times{}n\). El cofactor \(ij\) de \(A\) está definido por

\(A_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|\)

Ejemplo:

Sea \(A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 8 & 4 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}\)

El cofactor \(A_{31}\) está dado por

\(A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 4 \end{vmatrix}=8\)


Definición (Determinante de una matriz \((n\times{}n)\))

Sea \(A\) una matriz cuadrada de tamaño \(n\times{}n\). El determinante de \(A\) está definido por

\(|A|=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{1k}A_{1k}\)

En donde \(A_{1k}\) representa el cofactor \(1k\) de la matriz \(A\), es decir

\(|A|=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{1k}(-1)^{1+k}|M_{1k}|\)