Derivada de la suma o resta de dos funciones

Teorema: \(\displaystyle\frac{d}{dx}\left(f(x)\pm{}g(x)\right)=\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)\pm{}\displaystyle\frac{d}{dx}g(x)\)

Demostración: Supongamos que \(f'(x)\) y \(g'(x)\) existen, para el caso \((f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)\) se tiene lo siguiente

\(\begin{matrix}\displaystyle\frac{d}{dx}\left(f(x)+g(x)\right) & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-(f(x)+g(x))}{\Delta x} \\ \ & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)-f(x)+g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\ \ & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\ \ & = & f'(x) + g'(x)\end{matrix}\)

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El caso \((f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)\) es similar al anterior, se supone que las derivadas con respecto a \(x\) de \(f\) y \(g\) existen, luego por definición de límite se cumple que

\(\begin{matrix}\displaystyle\frac{d}{dx}\left(f(x)-g(x)\right) & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{(f(x+\Delta x)-g(x+\Delta x))-(f(x)-g(x))}{\Delta x} \\ \ & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)-f(x)-g(x+\Delta x)+g(x)}{\Delta x} \\ \ & = & \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)-f(x)-(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x} \\ \ & = &  \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} - \lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\ \ & = & f'(x) - g'(x)\end{matrix}\)