Límite de una función lineal

Teorema: Si \(b,m\in\mathbb{R}\)  y \(f(x)=mx+b\)  , entonces \(\lim_{x\to{a}}f(x)=ma+b\)

Demostración: De la definición de límite debe cumplirse que

\((\forall\epsilon\gt{0})(\exists\delta\gt{0})(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L|}\lt\epsilon)\)

Entonces

\(\begin{matrix}0\lt{|x-a|}\lt\delta & \longrightarrow & {|mx+b-(ma+b)|}\lt\epsilon \\ \ & \longrightarrow & {|mx-ma|}\lt\epsilon \\ \ & \longrightarrow & {|m(x-a)|}\lt\epsilon \\ \ & \longrightarrow & {|m||x-a|}\lt\epsilon\end{matrix}\)

De aquí se tienen dos casos, cuando \(m=0\) nótese que \(|m||x-a|\lt\epsilon\longrightarrow{0\lt\epsilon}\) con lo cual se cumple la definición.

Para \(m\neq{0}\) se tiene que \(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{}|x-a|\lt\displaystyle\frac{\epsilon}{|m|}\) , luego valdría tomar \(\delta=\displaystyle\frac{\epsilon}{|m|}\). El argumento es el siguiente:

\(\begin{matrix}0\lt{|x-a|}\lt\delta & \longrightarrow{} & 0\lt{|x-a|}\lt\displaystyle\frac{\epsilon}{|m|} \\  \ & \longrightarrow{} & |m||x-a|\lt\epsilon \\ \ & \longrightarrow{} & |m(x-a)|\lt\epsilon \\ \ & \longrightarrow{} & |mx+b-ma-b|\lt\epsilon \\ \ & \longrightarrow & {|f(x)-(ma+b)|\lt\epsilon}\end{matrix}\)

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