Límite de la suma o diferencia de dos funciones

Teorema: Si \(\lim_{x\to{a}}f(x)=L\) y \(\lim_{x\to{a}}g(x)=M\) entonces se cumple que \(\lim_{x\to{a}}\left(f(x)\pm{g(x)}\right)=L\pm{M}\)

Demostración: Para el caso \(\lim_{x\to{a}}\left(f(x)+g(x)\right)=L+M\)   por definción de límite debe cumplirse que

\((\forall\epsilon\gt{0})(\exists\delta\gt{0})(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|(f(x)+g(x))-(L+M)|\lt\epsilon}\)

Por otro lado, según la hipótesis para \(\frac{1}{2}\epsilon\gt{0}\) debe existir \(\delta_1\) tal que

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta_1\longrightarrow{|f(x)-L|\lt\frac{1}{2}\epsilon}\)

Análogamente debe existir \(\delta_2\) tal que

\(0\lt{|x-a|\lt\delta_2}\longrightarrow{|g(x)-M|\lt\frac{1}{2}\epsilon}\)

Ahora consideremos \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2)\), entonces

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L|\lt\frac{1}{2}\epsilon}\)

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|g(x)-M|\lt\frac{1}{2}\epsilon}\)

Además

\(\begin{matrix}|(f(x)+g(x))-(L+M)| & = & |(f(x)-L)+(g(x)-M)| \\ \ & \leq & {|f(x)-L|+|g(x)-M|}\end{matrix}\)

Por lo tanto

\(|(f(x)+g(x))-(L+M)|\lt{\displaystyle\frac{1}{2}\epsilon+\displaystyle\frac{1}{2}\epsilon}=\epsilon\)

De esta forma se ha demostrado que \(\lim_{x\to{a}}\left(f(x)+g(x)\right)=L+M\)

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El caso \(\lim_{x\to{a}}\left(f(x)-g(x)\right)=L-M\)   es similar al anterior, de la definición de límite debe cumplirse que

\((\forall\epsilon\gt{0})(\exists\delta\gt{0})(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|(f(x)-g(x))-(L-M)|}\lt\epsilon\)

Ahora, para \(\frac{1}{2}\epsilon\gt{0}\) debe existir \(\delta_1\gt{0}\) tal que

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta_1\longrightarrow{|f(x)-L|}\lt\frac{1}{2}\epsilon\)

Análogamente para \(\frac{1}{2}\epsilon\gt{0}\) debe existir \(\delta_2\gt{0}\) tal que

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta_2\longrightarrow{|g(x)-M|}\lt\frac{1}{2}\epsilon\)

Consideremos \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2)\), entonces

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L|}\lt\frac{1}{2}\epsilon\)

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{|g(x)-M|}\lt\frac{1}{2}\epsilon\)

Además

\(\begin{matrix}|(f(x)-g(x))-(L-M)| & = & |(f(x)-L)-(g(x)-M)| \\ \ & \leq & {|f(x)-L|+|g(x)-M|}\lt{\epsilon}\end{matrix}\)

Con lo cual queda demostrado el teorema.