Límite de la función idéntica

Teorema: Si \(f(x)\) es la función idéntica , entonces \(\lim_{x\to{a}}f(x)=a\)

Demostración: De la definición de límite debe cumplirse que

\((\forall\epsilon\gt{0})(\exists\delta\gt{0})(0\lt|x-a|\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L|\lt\epsilon})\)

Reemplazando \(f(x)=x\)  y \(L=a\)  tenemos

\((\forall\epsilon\gt{0})(\exists\delta\gt{0})(0\lt|x-a|\lt\delta\longrightarrow{|x-a|\lt\epsilon})\)

Lo cual indica que un valor razonable para épsilon sería \(\epsilon=\delta\). El argumento es el siguiente:

\(0\lt{|x-a|}\lt\delta\longrightarrow{0\lt{|x-a|}\lt\epsilon}\longrightarrow{0\lt{|f(x)-L|}\lt\epsilon}\)

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