Unicidad de Límite

Teorema: si una función tiene límite éste es único

Hipótesis: \(\lim_{x\to{a}}f(x)=L_1\)

Tesis: Si \(\lim_{x\to{a}}f(x)=L_2\) entonces \(L_1=L_2\)

Demostración: Supongamos que existen dos límites diferentes \(L_1\) y \(L_2\), por definición debe cumplirse que

\((\forall\epsilon\gt0)(\exists\delta_1\gt0)(0\lt|x-a|\lt\delta_1\longrightarrow{|f(x)-L_1|\lt\epsilon})\)

\((\forall\epsilon\gt0)(\exists\delta_2\gt0)(0\lt|x-a|\lt\delta_2\longrightarrow{|f(x)-L_2|\lt\epsilon})\)

¿Por qué se ha tomado un "único" épsilon?

Según la definición formal de límite, "Para todo \(\epsilon\) existe un \(\delta\), tal que ..." se establece que deben existir unos únicos \(\delta_1\) y \(\delta_2\) tales que se cumplan las definiciones anteriormente dadas. Como debe existir \(\delta\) tal que..., no es relevante en realidad el épsilon que tomemos, dado que para cada uno de ellos se sabe que existe algún delta, o lo que es lo mismo decir, dado un épsilon, deben existir dos deltas específicos en cada definición formalmente dada.

 Aclarado lo anterior, consideremos \(\delta=\min{(\delta_1,\delta_2)}\), entonces \(\forall\epsilon\gt0,~\exists\delta\gt0\) tal que

\(0\lt|x-a|\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L_1|\lt\epsilon}\)

\(0\lt|x-a|\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L_2|\lt\epsilon}\)

Por lo tanto, de acuerdo a la definición de límite dada por entornos tenemos que \(\forall{x}\in{N_0(a,\delta)}\) se cumple que \(f(x)\in{N_1(L_1,\epsilon)}\) y \(f(x)\in{N_2(L_2,\epsilon)}\), pero esto no siempre se cumple puesto que \(L_1\neq{L_2}\). Un ejemplo concreto de esto podría ser el caso particular en que \(N_1\cap{N_2}=\emptyset\)

Por otro lado, tomando \(\epsilon=\displaystyle\frac{|L_1-L_2|}{2}\), tenemos que

\(\begin{matrix}|L_1-L_2|=|L_1-f(x)+f(x)-L_2| & \leq & {|L_1-f(x)|+|f(x)-L_2|} \\ \ & \leq & {\displaystyle\frac{|L_1-L_2|}{2}+\displaystyle\frac{|L_1-L_2|}{2}}\end{matrix}\)

Luego \(|L_1-L_2|\lt{|L_1-L_2|}\), lo cual es absurdo. Por lo tanto, se concluye que si existe un límite éste debe ser único.

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