Introducción al Cálculo

Conceptos básicos

Antes de empezar a estudiar el cáculo es necesario ya tener unos pre-conceptos claramente establecidos, se necesita dominar por lo menos el álgebra, algo de teoría de conjuntos, nociones básicas en teoría de números, funciones reales, desigualdades, entre otros aspectos que se detallarán más adelante. El libro Cálculo, de Louis Leithold presenta una introducción acertada y bastante minuciosa sobre el concepto de límite, se recomienda dar un repaso a este apartado.

Vamos a empezar entonces el estudio del cálculo desde la definición formal \(\epsilon-\delta\) de límite expresada como sigue:

Definición (Límite de una función real)

Sea \(a\in\mathbb{R}\); si para cada \(\epsilon\gt0\) existe un \(\delta\gt0\) tal que \(|f(x)-L|\lt\epsilon\) cuando \(0\lt|x-a|\lt\delta\), se dice que \(f(x)\) tiende al número real \(L\) cuando \(x\) tiende a \(a\). Más formalmente tenemos

\((\forall\epsilon\gt0)(\exists\delta\gt0)(0\lt|x-a|\lt\delta\longrightarrow{|f(x)-L|\lt\epsilon})\)

Es importante destacar que la definición anteriormente dada es válida para cada \(x\in\mathbb{R}\) en el dominio de la función, y que \(f(a)\) no necesariamente debe estar definida.

¿Qué representan los intervalos en valor absoluto presentados en la definición?
 

La desigualdad \(0\lt|x-a|\lt\delta\) determina un intervalo agujereado en la recta real, también llamado entorno, con centro \(a\) y radio \(\delta\). Análogamente la desigualdad \(|f(x)-L|\lt\epsilon\) determina un entorno con centro \(L\) y radio \(\epsilon\) en la recta real, en este caso en el eje \(OY\). De acuerdo a esto es posible transladar la definición de límite a la notación de  entornos; si una función \(f(x)\) tiende al límite \(L\) cuando \(x\) tiende a \(a\), entonces para todo \(x\in{N_x(a,\delta)}\) se cumple que \(f(x)\in{N_y(L,\epsilon)}\), en donde \(N_i(m,n)\) representa un entorno centrado en \(m\) de radio \(n\) para la variable \(i\).

Para saber más sobre entornos e intervalos visita nuestra sección Desigualdades en valor absoluto

A continuación se demuestran formalmente algunas propiedades de los límites:

• Unicidad de límite
• Límite de una función constante
• Límite de la función idéntica
• Límite de una función lineal
• Límite de la suma o diferencia de dos funciones